Nous introduisons, au début de cet étude, le groupe et l'algèbre de Lie de Heisenberg , les représentations unitaires de Heisenberg et de Bargmann du groupe de Heisenberg et leur opérateur d'entrelacement et on termine avec la définition du sous-laplacien. Dans la deuxième partie, nous étudions les paires de Gelfand et leurs propriétés essentielles , les fonctions sphériques et leurs caractérisations en particulier sur un groupe de Lie connexe et à la fin on donne certains exemples. Dans le troisième chapitre, nous donnons la définition de la transformée de Fourier sphérique, nous cherchons le spectre de l'algèbre L^1_K(H_n) puis on détermine la transformée de Fourier sphérique sur son spectre et on étudiera ses propriétés. Nous terminons cet étude par une petite application; Résolution de l'équation de la chaleur associée au sous-laplacien du groupe de Heisenberg et détermination de son noyau.
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