L'objet de ce travail est de développer dans le premier chapitre la Théorie des paires de Guelfand. On donne des propriétés et des caractérisations des paires de Guelfand classiques. On définit aussi la notion des fonctions sphériques associées. Ces fonctions sphériques jouent le rôle de la fonction exponentielle, qui définit la transformation de Fourier classique dans Rn. En analyse Harmonique la transformation de Fourier classique se généralise par la transformation de Fourier sphérique dans le cadre des paires de Guelfand ou transformation de Guelfand. Ceci est illustre par cinq exemples. Dans le deuxième chapitre on développe la théorie des matrices aléatoire. Cette théorie étant considéré dés 1929, par J. Wishart en théorie statistique. Elle était introduite en physique nucléaire en 1952 par E. P. Wigner qui émit l'hypothèse suivante: "les niveaux d'énergie dans un noyau d'uranium sont lies aux valeurs propres d'une matrice dont les éléments sont distribués au hasard". Wigner s'est intéresse particulièrement aux matrices hermitiennes, à variables indépendantes aléatoires d'ordre n à coefficient dans F, F = R ou C et la loi de probabilité.
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