Cet ouvrage est une introduction à la théorie spectrale du laplacien sur les surfaces hyperboliques.
Cet ouvrage présente les surfaces hyperboliques (de courbure -1), compactes ou d'aire finie. Après une introduction à la géométrie hyperbolique des surfaces insistant sur celles qui sont arithmétiques, puis une introduction aux méthodes d'analyse spectrale de l'opérateur de Laplace sur celles-ci, l'auteur développe l'analogie géométrie (géodésiques fermées) - arithmétique (nombres premiers) en démontrant la formule des traces de Selberg. Outre des applications importantes à l'arithmétique, l'auteur propose des applications à la statistique spectrale de l'opérateur de Laplace et à la propriété d'unique ergodicité quantique (théorème d'unique ergodicité quantique arithmétique, récemment démontré par Elon Lindenstrauss).
L'ensemble des résultats et méthodes proposés dans cet ouvrage forme une synthèse de nombreux travaux entrepris depuis les années 1950 par plusieurs mathématiciens. Les derniers chapitres du livre sont ainsi en prise avec la recherche actuelle. On peut noter que plusieurs parties de l'ouvrage, dont le dernier chapitre, portent sur les travaux de l'un des médaillés Fields (E. Lindenstrauss) en 2010.
L'ouvrage, issu de plusieurs cours de M2 à Orsay et à l'université Pierre et Marie Curie, permet au lecteur de parcourir un champ mathématique classique et d'être conduit vers des domaines de recherche très actifs.
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