Présentation
Trier, comparer, ordonner sont des activités courantes depuis la nuit des temps qui se sont formalisées et perfectionnées en intégrant le domaine des mathématiques sous forme d'inéquations ou de relations d'ordre.
C'est en géométrie que sont apparues, de manière explicite, les premières inégalités dans divers problèmes traités par les Grecs de l'Antiquité. On y découvre la plus célèbre d'entre elles : l'inégalité triangulaire.
Un tournant dans l'utilisation des inégalités a sans doute été leur introduction en analyse. Ainsi, les notions de limite ou de continuité font appel à des inégalités. On les croise
en calcul différentiel et intégral. En particulier, certaines d'entre elles, dont les plus connues sont celles de Cauchy-Schwarz ou de Minkowski, ont facilité la création de nouveaux espaces, permettant de donner un cadre théorique à la physique.
On les retrouve en probabilités, en chimie, en mécanique quantique ou...en sciences sociales pour décrire et analyser un monde d'inégalités. Les inégalités
Le sommaire
Dossier 1 : Pour mettre un peu d'ordre
Pour pouvoir parler d'inégalités, il faut tout d'abord être capable de comparer : pour cela, il est nécessaire de définir ce que l'on entend par ordre.
Sujets traités
De l'ordre dans le désordre
Résoudre des inéquations
Une histoire de moyennes bien rangées
Les différentes moyennes
Moyennes sans mots
La puissance des ensembles
Et l'ordre fut établi
Dossier 2 : Une origine géométrique
Comparer des quantités est une activité des plus naturelles. Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu.
Sujets traités
Les richesses du triangle
Le problème de Didon
Une inégalité méconnue, celle de Ptolémée
À peu près ?
Les domaines du plan
La généralisation d'Hornich-Hlawka
Dossier 3 : L'analyse pour démontrer
Si l'intuition géométrique nous sert à comparer, c'est bien l'analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations, de majorer ou de minorer.
Sujets traités
Un petit florilège
Les inégalités de convexité
L'inégalité de Cauchy-Schwarz
Cauchy-Schwarz et ses variantes
Jusque dans les graphes !
Tchebychev et les suites monotones
La symétrie, un outil efficace
Dossier 4 : Un outil polyvalent
Dans nombre de domaines scientifiques, les inégalités jouent un rôle important. C'est le cas, par exemple, en probabilités ou pour les processus relevant de l'optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités.
Sujets traités
En probabilité, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Des résultats pour les nombres premiers
La naissance de la thermodynamique
Trier un tableau
L'indétermination d'Heisenberg
Les surprises de la mécanique quantique
Dossier 5 : Un monde d'inégalités
En sciences économiques et sociales, l'étude des inégalités est un sujet central, qu'
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